四色定理的证明（从"四色猜想"到"四域公理"）

“四色猜想”也称“四色定理”，一直以来都没有一种简捷明快的证明方法，然而，本文认为“四色猜想”可以作为一个平面区域相邻关系的“公理”，就如“经过两点有且只有一条直线”这样，可以被看作为“公理”。当然，数学是一门严谨的学科，不可能随便就把一个正确的结果认定为“公理”，本文将以较为简便明了的方法，对平面上的区域相邻问题（即“四色猜想”）作出证明，以推为“四域公理”（如不应称为“公理”的话，那称为“四域定理”也未尝不可，本文暂且称之为“公理”）。

关键词：四色猜想；区域；相邻

一、“四色猜想”的内容

“四色猜想”也就是“四色问题”，其内容是：“任何一张地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色”。用数学语言表示，即“将平面任意地细分为不相重叠的区域，每一个区域总可以用1，2，3，4这四个数字之一来标记，而不会使相邻的两个区域得到相同的数字”。这里所指的相邻区域，是指有一整段边界是公共的。如果两个区域只相遇于一点或有限多点，就不叫相邻的。因为用相同的颜色给它们着色不会引起混淆。

二、从“四色猜想”到“四域公理”

“四色猜想”来源的最原始记载，是英国的格里斯于1852年发现的，他在为一幅地图着色时，不论有多少国家，总是可以用不超过四种颜色就可以将不同的国家进行鉴别。四色猜想的发现来源于地图的着色，主要是针对地图的着色问题，然而，这里所指的地图必须是平面地图。因此，实际上四色问题就可以简单地转化为平面上四个相邻区域（相互连接具有公共边界的区域）之间关系的问题，这里称之为“四域问题”。下来将讨论平面上的“四域问题”：

（一）平面上 “区域” 的定义

首先，我们要对平面上的“区域”作一个简单的定义，这里所讲的区域是指平面上的一个有限的闭合区域（如果是无限的就不该叫区域，在这里讨论无限的也没实质的意义），它的形成可以看作是从任意一个点A出发，在平面上引出（画）一条曲线（中途不与自身交叉），最后返回于点A，得到平面上曲线所包含的部分就为一个区域，如图1。

（二）两个区域相邻问题

区域相邻是指两个区域必须要有一段公共边界（只有公共点而没有公共边界的不视为相邻），我们把这个公共边界称为“公共边”，不是公共边界的称之为“非公共边”。那么，很容易得出（画出）两个区域相邻只有两种情况：

1. 第一种情况，两相邻区域有一条公共边，且有各自的非公共边。如图2，即从区域1边界上任意一点A引一条曲线交于其边界上的另一点B，形成区域2，区域1、2相邻，有公共边AB，公共边AB以外的边界分别为区域1、2的非公共边。

2. 第二种情况，两区域中的一个区域整个边界都是公共边，没有非公共边。如图3，也就是一个区域被另一个区域所包围。即从区域1外面作一个区域2直接将区域1包围；或从区域1边界上任意一点A引一条曲线将区域1包围回交于点A，形成区域2。图3中这两种情况均是一个区域完全被另一个区域包围，可视为等同。

（三）三个区域相邻问题

我们可在图2的两个相邻区域1、2的基础上，增加第三个区域3，使其与区域1、2相邻。只有三种情况：

1. 第一种情况，如图4，从区域1的非公共边上任意一点C引一条曲线与区域2的非公共边交于点D，形成区域3。区域1、2、3相邻，边界AB、BC、BD为公共边，三个相邻区域均有各自的非公共边AC、AD、CD。

2. 第二种情况，如图5，从区域1的非公共边上任意一点C引一条曲线将区域2包围与区域1的非公共边交于点D，形成区域3。区域2被区域3包围，即区域2的整个边界都是公共边（区域2不再有非公共边）。

3. 第三种情况，如图6，区域1、2均被新增的区域3所包围，即区域1、2再也没有非公共边。

同样，以图3为基础增加第三个区域并使其与前两个相邻区域相邻，出现的结果只会与图6相同，这里不多作说明。

（四）四个区域相邻问题（四域问题）

以图4的三个相邻区域为基础，增加第四个区域4，使其与区域1、2、3相邻。只有三种情况：

1. 第一种情况，如图7，从区域1的非公共边上任意一点E引一条曲线与区域2的非公共边交于点F，形成区域4。这时要使区域4与区域1、2、3均相邻，所引的曲线EF必须要绕过区域3与区域1、2的非公共边CD，也就是说区域3必须被区域4所包围，即区域3原有的非公共边CD必须成为其与区域4的公共边。这样形成四个相邻区域后，区域3不再有非公共边，这是必然的（理由很简单：因为原本三个相邻区域1、2、3各自有一条非公共边，即共有三条非公共边，而要作区域4时引出的曲线只有起点E和终点F两个点，而两个点最多只能落在两条非公共边上）。如此才能形成区域1、2、3、4相邻，否则，结果如图8，如曲线EF不绕过并包围区域3，形成的区域4将不可能与区域3相邻，就不能达到四域相邻。

2. 第二种情况，如图9，从区域1非公共边上任意一点E引一条曲线将区域2和区域3包围交区域1非公共边于点F，形成区域4。如此形成四个区域相邻后，区域2、3均被区域4包围，区域2、3再也没有非公共边。

3. 第三种情况，如图10，区域1、2、3均被新增的区域4所包围，如此形成的四个区域相邻后，区域1、2、3再也没有非公共边。

同样道理，如以图5和图6为基础，增加第四个区域并使其与前三个相邻区域相邻，最后得出的结果一定会与图9和图10相同，这里不再多说。

由此可见，我们很容易地得出一个结论：平面上要使四个区域相邻，其中必定至少有一个区域被包围，即至少有一个区域（被包围的）没有非公共边。

（五）五个及五个以上区域相邻问题

平面上会有五个区域相邻（“五域相邻”）的情况吗？答案是否定的：没有。我们从以上“四域问题”可知，平面上相邻的四个区域中至少会有一个区域被包围，被包围的区域不再有非公共边，因此，被包围的那个区域不可能再与外界新增的第五个区域相邻（如在被包围的那个区域里面或外面作一个区域与之相邻，那新的这个区域必定不能同时与其它三个相邻），即不可能作出第五个区域使其与前四个相邻区域相邻。因此，平面上不可能出现“五域相邻”及“五域”以上的更多区域相邻。

综上所述，我们可以得出：平面上区域相邻（相互之间有公共边）的个数最多只能有四个，即平面上的区域相邻最多只能允许“四域相邻”。这就是所谓的“四域公理”（因为平面上最多只允许“四域相邻”的正确性可以从上述“四域问题”或实践中得以证实，是可以被公认的），或可称之为“四域定理”（通过本文的证明）。

四、对“四色猜想”的一点补充

上述的“四域公理”不容置疑，因为平面上最多只有四域相邻。所以在给地图着色原则上只用四种颜色足以，但是有一种特殊的地图就不能只用四种颜色就可进行鉴别。如图11，有5个国家，1、2、3、4相邻，1、2、4、5相邻，但5个国家之中有一个国家3的一部分领土完全被国家5包围（地图不能排除有此种情况）。那么国家3、5就不能用同一种颜色，也不能与国家1、2、4的颜色相同，这种情况5个国家只能用不同的5种颜色。如果不存在此类特殊情况的地图，那么最多只用四种颜色就可进行鉴别。